requisitos para que una matriz sea diagonalizable

Una matriz es diagonalizable si y solo si tiene n autovalores distintos, o lo que es lo mismo, si el polinomio característico tiene n factores lineales distintos. Los n factores lineales distintos del polinomio característico de una matriz A de n×n son los n autovalores de A, y las n columnas de la matriz diagonal D son los vectores autovectoriales asociados a cada uno de los autovalores.

Por lo tanto, una matriz es diagonalizable si el polinomio característico de la matriz tiene n factores lineales (autovalores) distintos. Dado que el polinomio característico de una matriz está relacionado con los eigenvalores y eigenvectores de la matriz, esto significa que una matriz es diagonalizable si y solo si tiene n eigenvalores (autovalores) y n eigenvectores (autovectores) distintos.

En consecuencia, para que una matriz A de n×n sea diagonalizable, debe cumplirse que:

• A tiene n eigenvalores (autovalores) distintos.
• A tiene n eigenvectores (autovectores) distintos.
• Los n eigenvectores (autovectores) de A forman un conjunto linealmente independiente.

Por lo tanto, una matriz es diagonalizable si cumple los tres requisitos anteriores. Si falta alguno de ellos, entonces la matriz no es diagonalizable.